3.1 函数的极限

1 函数极限的定义

函数极限

仿照数列极限, 我们在这里给出全部的 24 个极限过程的定义. 为了使定义是有意义的, 我们一律规定在所有 $x \to x_{0}$ 的极限过程中 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 的某个去心邻域内有定义; 所有 $x \to x_{0}^{+}$ 的极限过程中 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 的右旁有定义; 所有 $x \to x_{0}^{-}$ 的极限过程中 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 的左旁有定义; 所有 $x \to \infty$ 的极限过程中 $f (x)$ 在某个区间 $(- \infty, b] \cup [a, + \infty)$ 上有定义; 所有 $x \to + \infty$ 的极限过程中 $f (x)$ 在某个区间 $[a, + \infty)$ 上有定义; 所有 $x \to - \infty$ 的极限过程中 $f (x)$ 在某个区间 $(- \infty, b]$ 上有定义. 那么我们定义:

$lim_{x \to x_{0}} f (x) = A \Leftrightarrow \forall ε > 0, \exists δ > 0, \forall x (0 < | x - x_{0} | < δ) : | f (x) - A | < ε$ .
$lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = A \Leftrightarrow f (x_{0}^{+}) \Leftrightarrow \forall ε > 0, \exists δ > 0, \forall x (0 < x - x_{0} < δ) : | f (x) - A | < ε$ .
$lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = A \Leftrightarrow f (x_{0}^{-}) \Leftrightarrow \forall ε > 0, \exists δ > 0, \forall x (0 < x_{0} - x < δ) : | f (x) - A | < ε$ .
$lim_{x \to \infty} f (x) = A \Leftrightarrow \forall ε > 0, \exists X > 0, \forall x (| x | > X) : | f (x) - A | < ε$ .
$lim_{x \to + \infty} f (x) = A \Leftrightarrow \forall ε > 0, \exists X > 0, \forall x (x > X) : | f (x) - A | < ε$ .
$lim_{x \to - \infty} f (x) = A \Leftrightarrow \forall ε > 0, \exists X > 0, \forall x (x < - X) : | f (x) - A | < ε$ .
$lim_{x \to x_{0}} f (x) = \infty \Leftrightarrow \forall G > 0, \exists δ > 0, \forall x (0 < | x - x_{0} | < δ) : | f (x) | > G$ .
$lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = \infty \Leftrightarrow \forall G > 0, \exists δ > 0, \forall x (0 < x - x_{0} < δ) : | f (x) | > G$ .
$lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = \infty \Leftrightarrow \forall G > 0, \exists δ > 0, \forall x (0 < x_{0} - x < δ) : | f (x) | > G$ .
$lim_{x \to \infty} f (x) = \infty \Leftrightarrow \forall G > 0, \exists X > 0, \forall x (| x | > X) : | f (x) | > G$ .
$lim_{x \to + \infty} f (x) = \infty \Leftrightarrow \forall G > 0, \exists X > 0, \forall x (x > X) : | f (x) | > G$ .
$lim_{x \to - \infty} f (x) = \infty \Leftrightarrow \forall G > 0, \exists X > 0, \forall x (x < - X) : | f (x) | > G$ .
$lim_{x \to x_{0}} f (x) = + \infty \Leftrightarrow \forall G > 0, \exists δ > 0, \forall x (0 < | x - x_{0} | < δ) : f (x) > G$ .
$lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = + \infty \Leftrightarrow \forall G > 0, \exists δ > 0, \forall x (0 < x - x_{0} < δ) : f (x) > G$ .
$lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = + \infty \Leftrightarrow \forall G > 0, \exists δ > 0, \forall x (0 < x_{0} - x < δ) : f (x) > G$ .
$lim_{x \to \infty} f (x) = + \infty \Leftrightarrow \forall G > 0, \exists X > 0, \forall x (| x | > X) : f (x) > G$ .
$lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty \Leftrightarrow \forall G > 0, \exists X > 0, \forall x (x > X) : f (x) > G$ .
$lim_{x \to - \infty} f (x) = + \infty \Leftrightarrow \forall G > 0, \exists X > 0, \forall x (x < - X) : f (x) > G$ .
$lim_{x \to x_{0}} f (x) = - \infty \Leftrightarrow \forall G > 0, \exists δ > 0, \forall x (0 < | x - x_{0} | < δ) : f (x) < - G$ .
$lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = - \infty \Leftrightarrow \forall G > 0, \exists δ > 0, \forall x (0 < x - x_{0} < δ) : f (x) < - G$ .
$lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = - \infty \Leftrightarrow \forall G > 0, \exists δ > 0, \forall x (0 < x_{0} - x < δ) : f (x) < - G$ .
$lim_{x \to \infty} f (x) = - \infty \Leftrightarrow \forall G > 0, \exists X > 0, \forall x (| x | > X) : f (x) < - G$ .
$lim_{x \to + \infty} f (x) = - \infty \Leftrightarrow \forall G > 0, \exists X > 0, \forall x (x > X) : f (x) < - G$ .
$lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty \Leftrightarrow \forall G > 0, \exists X > 0, \forall x (x < - X) : f (x) < - G$ .

事实上, 只有前六个情形我们说函数极限是"存在"的.

由上述定义立即看出,

定理

$lim_{x \to x_{0}} f (x) = A \Leftrightarrow lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = A .$ $lim_{x \to \infty} f (x) = A \Leftrightarrow lim_{x \to + \infty} f (x) = lim_{x \to - \infty} f (x) = A .$

无穷小量与无穷大量

对于定义 3.1.1 的极限过程 1~6, 若 $A = 0$ , 则称 $f (x)$ 是对应极限过程下的无穷小量; 对于极限过程 7~12, 称 $f (x)$ 是对应极限过程下的无穷大量; 对于极限过程 13~18, 称 $f (x)$ 是对应极限过程下的正无穷大量; 对于极限过程 19~24, 称 $f (x)$ 是对应极限过程下的负无穷大量.

2 函数极限的存在条件

Heine 定理

以定义中的第一个极限过程为例, 我们有

lim_{x \to x_{0}} f (x) = A \Leftrightarrow \forall {x_{n}} (x_{n} \neq x_{0}, lim_{n \to \infty} x_{n} = x_{0}), lim_{n \to \infty} f (x_{n}) = A .

证明

" $\Rightarrow$ " 由定义 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = A \Leftrightarrow \forall ε > 0, \exists δ > 0, \forall x (0 < | x - x_{0} | < δ) : | f (x) - A | < ε$ .
又 $x_{n} \neq x_{0}, lim_{n \to \infty} x_{n} = x_{0}$ , 故 $\exists N \in N^{*}, \forall n > N : | x_{n} - x_{0} | < δ$ . 从而代入上式得 $| f (x_{n}) - A | < ε$ . 进而 $lim_{n \to \infty} f (x_{n}) = A$ .
" $\Leftarrow$ " 假设 $lim_{x \to x_{0}} f (x) \neq A$ , 即 $\exists ε_{0} > 0, \forall δ > 0, \exists x \in o ({\hat{x}}_{0}, δ) : | f (x) - A | \geq ε_{0}$ .
特别地, 当 $δ = 1, \exists x_{1} \in o ({\hat{x}}_{0}, 1) : | f (x_{1}) - A | \geq ε_{0}, \dots, δ = \frac{1}{n}, \exists x_{n} \in o ({\hat{x}}_{0}, \frac{1}{n}) : | f (x_{n}) - A | \geq ε_{0}$ .
从而有数列 ${x_{n}}$ 满足 $lim_{n \to \infty} x_{n} = x_{0}$ 但 $lim_{n \to \infty} f (x_{n}) \neq A$ , 矛盾.

其他极限过程亦存在对应的 Heine 定理, 读者可以自行构造并予以证明. 下面的讨论亦只以 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = A$ 为例展开讨论.

Heine 定理的弱形式

$lim_{x \to x_{0}} f (x)$ 存在 $\Leftrightarrow \forall {x_{n}} (x_{n} \neq x_{0}, lim_{n \to \infty} x_{n} = x_{0})$ , ${f (x_{n})}$ 收敛.

证明

" $\Rightarrow$ " 由 Heine 定理立得.
" $\Leftarrow$ " 只需证明, $\forall {x_{n}} (x_{n} \neq x_{0}, lim_{n \to \infty} x_{n} = x_{0}), {f (x_{n})}$ 收敛于同一个数.
反设存在 ${x_{n}^{(1)}} (x_{n}^{(1)} \neq x_{0}, lim_{n \to \infty} x_{n}^{(1)} = x_{0}) : lim_{n \to \infty} f (x_{n}^{(1)}) = A$ , ${x_{n}^{(2)}} (x_{n}^{(2)} \neq x_{0}, lim_{n \to \infty} x_{n}^{(2)} = x_{0}) : lim_{n \to \infty} f (x_{n}^{(2)}) = B$ , 且 $A \neq B$ . 构造数列 $y_{n} : x_{1}^{(1)}, x_{1}^{(2)}, x_{2}^{(1)}, x_{2}^{(2)}, \dots$ . 则 $lim_{k \to \infty} f (y_{2 k - 1}) = A, lim_{k \to \infty} f (y_{2 k}) = B$ .
从而由这个定理, 可得 ${f (y_{n})}$ 发散, 得到矛盾. 进而由 Heine 定理可知 $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ 存在.

推论

$lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x)$ 存在 $\Leftrightarrow \forall {x_{n}}$ (严格单调递减, $lim_{n \to \infty} x_{n} = x_{0}$ ), ${f (x_{n})}$ 收敛.

函数 Cauchy 收敛准则

$lim_{x \to x_{0}} f (x)$ 存在 $\Leftrightarrow \forall ε > 0, \exists δ > 0, \forall x_{1}, x_{2} \in o ({\hat{x}}_{0}, δ) : | f (x_{1}) - f (x_{2}) | < ε$ .

证明

" $\Rightarrow$ " 设 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = A$ , 则 $\forall ε > 0, \exists δ > 0, \forall x \in o ({\hat{x}}_{0}, δ) : | f (x) - A | < \frac{ε}{2}$ . 于是
$\forall x^{'}, x^{″} \in o ({\hat{x}}_{0}, δ) : | f (x^{'}) - f (x^{″}) | \leq | f (x^{'}) - A | + | f (x^{″}) - A | < ε$ .
" $\Leftarrow$ " 由 Heine定理的弱形式可知只需要证明 $\forall {x_{n}} (x_{n} \neq x_{0}, lim_{n \to \infty} x_{n} = x_{0})$ , ${f (x_{n})}$ 收敛.
事实上, 由已知, $\forall ε > 0, \exists δ > 0, \forall x_{1}, x_{2} \in o ({\hat{x}}_{0}, δ) : | f (x_{1}) - f (x_{2}) | < ε$ . 而对这样的 ${x_{n}}$ ,
$\exists N \in N, \forall n > N : 0 < | x_{n} - x_{0} | < δ$ . 于是 $\forall m, n > N : x_{m}, x_{n} \in o ({\hat{x}}_{0}, δ)$ , 因此 $| f (x_{m}) - f (x_{n}) | < ε$ . 故 ${f (x_{n})}$ 是 Cauchy 列, 从而它收敛, 因此 $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ 存在.

推论

$lim_{x \to \infty} f (x)$ 存在 $\Leftrightarrow \forall ε > 0, \exists G > 0, \forall x^{'}, x^{″} (| x^{'} |, | x^{″} | > G) : | f (x^{'}) - f (x^{″}) | < ε$ .

单调有界单侧极限存在性定理

设 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 内单调, 则 $\forall x_{0} \in (a, b) : f (x)$ 在 $x_{0}$ 处存在单侧极限.

证明

不妨设 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 单调递增, 我们只证明 $lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x)$ 存在.
令 $E = {f (x) | a < x < x_{0}}$ , 则 E 非空. 且 $f (x) \leq f (x_{0}), \forall a < x < x_{0}$ , 则 E 有上界. 由确界原理, $\exists β \in R : β = sup E$ . 则 $\forall ε > 0, \exists x_{1} \in (a, x_{0}) : β - ε < f (x_{1}) \leq β$ . 取 $δ = x_{0} - x_{1} > 0$ , 于是 $\forall x \in (x_{0} - δ, x_{0})$ :

β - ε < f (x_{1}) \leq f (x) < β < β + ε,

也即 $| f (x) - β | < ε$ . 从而 $lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = β$ , 也即它存在. 同理可证 $lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x)$ 存在.
由上述证明还能看出,

f (x_{0}^{-}) = sup {f (x) | a < x < x_{0}}, f (x_{0}^{+}) = inf {f (x) | x_{0} < x < b} .

对于 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 单调递减, 同样可以得到

f (x_{0}^{-}) = inf {f (x) | a < x < x_{0}}, f (x_{0}^{+}) = sup {f (x) | x_{0} < x < b} .

3 函数极限的性质

函数极限的性质性质 (以

lim_{x \to x_{0}} f (x)

存在为例)

唯一性 $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ 若存在则必唯一.
局部有界性 设 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = A$ , 则 $\exists M > 0, \exists δ_{0} > 0, \forall x \in o ({\hat{x}}_{0}, δ_{0}) : | f (x) | \leq M$ .
局部不等式性 设 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = A$ , $lim_{x \to x_{0}} g (x) = B$ , $A < B$ , 则 $\exists δ_{0} > 0, \forall x \in o ({\hat{x}}_{0}, δ_{0}) : f (x) < g (x)$ .
局部保号性 设 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = A > 0$ , 则 $\forall 0 < l < 1, \exists δ_{0} > 0, \forall x \in o ({\hat{x}}_{0}, δ_{0}) : f (x) > l A > 0$ .
夹逼性 若在 $x \in o ({\hat{x}}_{0}, δ_{0})$ 内有 $g (x) \leq f (x) \leq h (x)$ , 且 $lim_{x \to x_{0}} g (x) = lim_{x \to x_{0}} h (x) = A$ , 则 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = A$ .
四则运算 设 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = A$ , $lim_{x \to x_{0}} g (x) = B$ , 则

\begin{aligned} lim_{x \to x_{0}} (f \pm g) (x) & = lim_{x \to x_{0}} f (x) \pm lim_{x \to x_{0}} g (x) . \\ lim_{x \to x_{0}} (c f) (x) & = c lim_{x \to x_{0}} f (x) . \\ lim_{x \to x_{0}} (f g) (x) & = lim_{x \to x_{0}} f (x) \cdot lim_{x \to x_{0}} g (x) . \\ lim_{x \to x_{0}} (\frac{f}{g}) (x) & = \frac{lim_{x \to x_{0}} f (x)}{lim_{x \to x_{0}} g (x)} (g (x) \neq 0, B \neq 0) . \end{aligned}

复合运算 设 $lim_{u \to u_{0}} f (u) = A$ , $lim_{x \to x_{0}} g (x) = u_{0}$ , $x$ 在 $x_{0}$ 的某去心邻域 $o ({\hat{x}}_{0}, δ_{0})$ 上时总有 $g (x) \neq u_{0}$ , 则 $lim_{x \to x_{0}} (f \circ g) (x) = A$ .

证明

8. 任取 ${x_{n}}$ 满足 $lim_{n \to \infty} x_{n} = x_{0}$ , 且 $x_{n} \neq x_{0}$ , 则由 Heine定理得 $lim_{n \to \infty} f (x_{n}) = lim_{x \to x_{0}} f (x)$ . 结合数列极限的唯一性, 得 $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ 是唯一的.
9. 由已知, $\exists δ > 0, \forall x \in o ({\hat{x}}_{0}, δ) : | f (x) - A | < 1$ , 因此 $| f (x) | \leq | f (x) - A | + | A | < 1 + | A |$ . 也即 $f (x)$ 在 $o ({\hat{x}}_{0}, δ)$ 上有界.
10. 对于 $\frac{B - A}{2} > 0$ , $\exists δ_{0} > 0, \forall x \in o ({\hat{x}}_{0}, δ_{0}) : | f (x) - A | < \frac{B - A}{2}, | g (x) - B | < \frac{B - A}{2}$ . 则 $f (x) < A + \frac{B - A}{2} = \frac{A + B}{2} = B - \frac{B - A}{2} < g (x)$ .
11. 对于 $(1 - l) A > 0$ , $\exists δ_{0} > 0, \forall x \in o ({\hat{x}}_{0}, δ_{0}) : | f (x) - A | < (1 - l) A$ , 则 $l A < f (x) < (2 - l) A$ .
12. 由已知, $\forall ε > 0, \exists δ_{1} > 0, \forall x \in o ({\hat{x}}_{0}, δ_{1}) : | g (x) - A | < ε \Rightarrow A - ε < g (x) < A + ε$ . 同理 $\exists δ_{2} > 0, \forall x \in o ({\hat{x}}_{0}, δ_{2}) : | h (x) - A | < ε \Rightarrow A - ε < h (x) < A + ε$ . 取 $δ = min {δ_{1}, δ_{2}} > 0$ , 则 $\forall x \in o ({\hat{x}}_{0}, δ) : A - ε < g (x) \leq f (x) \leq h (x) < A + ε$ . 也即 $| f (x) - A | < ε$ , 即 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = A$ .
13. 由 Heine 定理, 任取 ${x_{n}}$ 满足 $lim_{n \to \infty} x_{n} = x_{0}$ , 且 $x_{n} \neq x_{0}$ , 有 $lim_{n \to \infty} f (x_{n}) = lim_{x \to x_{0}} f (x) = A, lim_{n \to \infty} g (x_{n}) = lim_{x \to x_{0}} g (x) = B$ . 则由数列极限的四则运算, 函数极限的四则运算立即得证.
14. 由 $lim_{x \to x_{0}} g (x) = u_{0}$ , 任取 ${x_{n}}$ 满足 $lim_{n \to \infty} x_{n} = x_{0}$ 且 $x_{n} \neq x_{0}$ , 由 Heine 定理, 有 $lim_{n \to \infty} g (x_{n}) = u_{0}$ . 令 $u_{n} = g (x_{n})$ , 则由于 $lim_{n \to \infty} u_{n} = u_{0}$ , 且 $u_{n} \neq u_{0}$ , 由 $lim_{u \to u_{0}} f (u) = A$ , 故由 Heine 定理, 有 $lim_{n \to \infty} f (u_{n}) = lim_{n \to \infty} (f \circ g) (x_{n}) = A$ . 再由 Heine 定理, 即得 $lim_{x \to x_{0}} (f \circ g) (x) = A$ .

4 两个重要极限

命题

$\begin{matrix} (4.1) & lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1. \end{matrix}$

证明

当 $x \in (0, \frac{π}{2})$ , 结合不等式 $\sin x < x < \tan x$ 得 $0 < \frac{\sin x}{x} < 1$ , 则

0 < 1 - \frac{\sin x}{x} < 1 - \cos x = 2 \sin^{2} \frac{x}{2} < 2 {(\frac{x}{2})}^{2} = \frac{x^{2}}{2} \to 0 (x \to 0) .

从而 $lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin x}{x} = 1$ .
令 $y = - x$ , 则

lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sin x}{x} = lim_{y \to 0^{+}} \frac{\sin (- y)}{- y} = lim_{y \to 0^{+}} \frac{\sin y}{y} = 1.

从而 $lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ .

同时结合函数极限的复合运算可以得到, 若 $lim_{x \to x_{0}} α (x) = 0$ , 则 $lim_{x \to x_{0}} \frac{\sin α (x)}{α (x)} = 1$ .

推论

$lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\cos x \cdot x} = 1$ 。
$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^{2} \frac{x}{2}}{4 (\frac{x}{2})^{2}} = \frac{1}{2}$ .
$lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = lim_{y \to 0} \frac{y}{\sin y} = 1 (y = \arcsin x)$ .
$lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = lim_{y \to 0} \frac{y}{\tan y} = 1 (y = \arctan x)$ .

命题

$\begin{matrix} (4.2) & lim_{x \to \pm \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x} = lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e . \end{matrix}$

证明

令 $n = [x], x > 0$ , 则 $n \leq x < n + 1 \Rightarrow 1 + \frac{1}{n + 1} < 1 + \frac{1}{x} \leq 1 + \frac{1}{n}$ , 也即

{(1 + \frac{1}{n + 1})}^{n} \leq {(1 + \frac{1}{x})}^{n} < {(1 + \frac{1}{x})}^{x} \leq {(1 + \frac{1}{n})}^{x} < {(1 + \frac{1}{n})}^{n + 1} .

结合夹逼性和这个命题得 $lim_{x \to + \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x} = e$ .
令 $y = - x$ , 则 $\begin{aligned} lim_{x \to - \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x} & = lim_{y \to + \infty} {(1 - \frac{1}{y})}^{- y} = lim_{y \to + \infty} {(\frac{y}{y - 1})}^{y} \\ = lim_{y \to + \infty} [{(1 + \frac{1}{y - 1})}^{y - 1} (1 + \frac{1}{y - 1})] = e . \end{aligned}$ 故得 $lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x} = e$ . 同时容易得到 $lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x} = lim_{t \to 0} (1 + t)^{\frac{1}{t}} = e$ .

同样地可以得到, 若 $lim_{x \to x_{0}} α (x) = 0$ , 则 $lim_{x \to x_{0}} [1 + α (x)]^{\frac{1}{α (x)}} = e$ .

推论

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + 1)}{x} = lim_{x \to 0} \ln (x + 1)^{\frac{1}{x}} = 1$ .
$lim_{x \to 0} \frac{\log_{a} (x + 1)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x \ln a} = \frac{1}{\ln a}$ .
$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = lim_{y \to 0} \frac{y}{\ln (1 + y)} = 1, (y = e^{x} - 1)$ .
$lim_{x \to 0} \frac{a^{x} - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x \ln a} - 1}{x} = \ln a$ .
$lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{α} - 1}{x} = α$ .

证明

只证明 5. 记 $y = (1 + x)^{α} - 1 \Rightarrow α \ln (1 + x) = \ln (1 + y)$ , 则

\begin{aligned} lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{α} - 1}{x} & = lim_{x \to 0} \frac{y}{x} = lim_{x \to 0} \frac{y}{\ln (1 + y)} \frac{α \ln (1 + x)}{x} \\ = α lim_{y \to 0} \frac{y}{\ln (1 + y)} lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x} = α . \end{aligned}

5 无穷小量与无穷大量的比较

无穷小量的阶

设 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = lim_{x \to x_{0}} g (x) = 0$ .

若 $lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)} = 0$ , 则称 $f (x)$ 是 $g (x)$ 在 $x \to x_{0}$ 时的高阶无穷小量.
若 $lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)} = c (c \neq 0)$ , 则称 $f (x)$ 与 $g (x)$ 在 $x \to x_{0}$ 时互为同阶无穷小量, 也即两者同阶. 特别地, 当 $c = 1$ , 则称 $f (x)$ 与 $g (x)$ 互为等价无穷小量, 也即两者等价, 记作 $f (x) \sim g (x)$ .

根据前面的证明, 我们可以得到一些常见的等价的函数, 如在 $x \to 0$ 时,

x \sim \sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x \sim e^{x} - 1 \sim \ln (x + 1) .

1 - \cos x \sim \frac{1}{2} x^{2} .

(1 + x)^{α} - 1 \sim α x .

a^{x} - 1 \sim x \ln a .

\log_{a} (1 + x) \sim \frac{x}{\ln a} .

定理

设 $x \to x_{0}$ 时 $f (x) \sim α (x), g (x) \sim β (x), lim_{x \to x_{0}} \frac{α (x)}{β (x)} = A$ , 则 $lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)} = A$ .

证明

由等价的定义结合极限的四则运算立得:

lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{α (x)} \cdot \frac{α (x)}{β (x)} \cdot \frac{β (x)}{g (x)} = A .

k 阶无穷小量

若 $lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{(x - x_{0})^{k}} = c (c \neq 0)$ , 即 $x \to x_{0}$ 时 $f (x)$ 与 $(x - x_{0})^{k}$ 同阶, 则称 $f (x)$ 是 $x \to x_{0}$ 的 $k$ 阶无穷小量.

高阶无穷小量

记:

f (x) = o (g (x)) \Leftrightarrow lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)} = 0.

也即 $f (x)$ 是 $g (x)$ 在 $x \to x_{0}$ 时的高阶无穷小量. 注意, $o$ 记号只能从左向右理解, 不能认为 $g (x)$ 在 $x \to x_{0}$ 时的高阶无穷小量就是 $f (x)$ , 因为它显然不唯一.
同样地可以定义:

f (x) = O (g (x)) \Leftrightarrow \exists M \geq 0, | lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)} | \leq M .